5. Смежные углы ABC и DBC относятся как 2:7, луч DK перпендикулярен лучу BC. Найдите угол между биссектрисами углов KBD и CBA.

Пусть ∠ABC = 2x, а ∠DBC = 7x. Смежные углы в сумме дают 180°: 2x + 7x = 180°, откуда x = 20°. Значит, ∠ABC = 40°, ∠DBC = 140°.

Поскольку DK ⟂ BC, угол между лучами DK и BC равен 90°. По рисунку и формулировке луч DK перпендикулярен BC, но не задано, с какой стороны от BC направлен луч DK; поэтому возможны два расположения.

Если луч DK направлен внутрь угла DBC, то ∠KBD = 140° − 90° = 50°. Его биссектриса образует с BD угол 25°, а биссектриса ∠CBA образует с BC угол 20°. Угол между биссектрисами равен 180° − (25° + 20°) = 135°.

Если луч DK направлен в противоположную сторону, то ∠KBD = 140° + 90° = 230° (рефлексный угол); его биссектриса и биссектриса ∠CBA дают меньший угол между собой 45°.

Ответ: однозначно определить нельзя: 135° или 45°; необходимо уточнить направление луча DK относительно BC.