5. Сократить дробь (9x^2 - 4y^2)/(20y^2 - 60xy + 45x^2) и найти её значение при x = 2/3, y = 0,75.

Решение:

Сначала сократим дробь:

\[ \frac{9x^2 - 4y^2}{20y^2 - 60xy + 45x^2} \]

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов:

\[ 9x^2 - 4y^2 = (3x)^2 - (2y)^2 = (3x - 2y)(3x + 2y) \]

Разложим знаменатель. Вынесем общий множитель \( 5 \):

\[ 5(4y^2 - 12xy + 9x^2) \]

Выражение в скобках является полным квадратом:

\[ 4y^2 - 12xy + 9x^2 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 3x + (3x)^2 = (2y - 3x)^2 \]

Таким образом, знаменатель равен \( 5(2y - 3x)^2 \). Обратим внимание, что \( (2y - 3x)^2 = (-(3x - 2y))^2 = (3x - 2y)^2 \).

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

\[ \frac{(3x - 2y)(3x + 2y)}{5(3x - 2y)^2} = \frac{3x + 2y}{5(3x - 2y)} \]

Теперь найдем значение выражения при \( x = \frac{2}{3} \) и \( y = 0.75 = \frac{3}{4} \):

Числитель: \( 3x + 2y = 3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \).

Знаменатель: \( 5(3x - 2y) = 5 \left( 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{4} \right) = 5 \left( 2 - \frac{3}{2} \right) = 5 \left( \frac{4}{2} - \frac{3}{2} \right) = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \).

Значение дроби:

\[ \frac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7}{5} \]

Ответ: \( \frac{3x + 2y}{5(3x - 2y)} \); \( \frac{7}{5} \).