5. Сократите дробь \(\frac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25}\) и найдите значение полученной дроби при \( x = 3 \).

Решение:

Сначала сократим дробь. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \( x^2 - 12x + 35 \)

Найдем корни уравнения \( x^2 - 12x + 35 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 12 \) и \( x_1 \cdot x_2 = 35 \). Корни: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 7 \).

Значит, \( x^2 - 12x + 35 = (x-5)(x-7) \).

Знаменатель: \( x^2 - 10x + 25 \)

Это квадрат разности: \( (x-5)^2 \).

Теперь сократим дробь:

\(\frac{(x-5)(x-7)}{(x-5)^2} = \frac{x-7}{x-5}\)

Найдем значение полученной дроби при \( x = 3 \):

\(\frac{3-7}{3-5} = \frac{-4}{-2} = 2\)

Ответ: 2