5) $\sqrt{3x-\sqrt{x-\frac1{36}}}=\frac1{\sqrt3}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 5) $\sqrt{3x-\sqrt{x-\frac1{36}}}=\frac1{\sqrt3}$$ Фото задания

Accepted Answer

Для существования выражения требуется $x\ge\frac1{36}$. Возведём обе части в квадрат: $3x-\sqrt{x-\frac1{36}}=\frac13$.

Положим $y=\sqrt{x-\frac1{36}}$, где $y\ge0$; тогда $x=y^2+\frac1{36}$. Подстановка даёт $3y^2+\frac1{12}-y=\frac13$, или $36y^2-12y-3=0$.

Делим на 3: $12y^2-4y-1=0$. Отсюда $y=\frac{4\pm8}{24}$, то есть $y=\frac12$ или $y=-\frac16$. Так как $y\ge0$, остаётся $y=\frac12$.

Тогда $x=\frac14+\frac1{36}=\frac5{18}$. Проверка: подкоренное выражение внешнего корня равно $\frac13$, поэтому левая часть равна $\frac1{\sqrt3}$.

Ответ: $x=\frac5{18}$.

5) \(\sqrt{3x-\sqrt{x-\frac1{36}}}=\frac1{\sqrt3}\)