5. Стороны треугольника равны 7√3 см, 3√9 см и 12 см. Найти наименьший угол этого треугольника.

\(3\sqrt9=9\), поэтому стороны равны \(7\sqrt3\), 9 и 12 см. Наименьшему углу противолежит наименьшая сторона — 9 см.

Обозначим этот угол через \(\alpha\). По теореме косинусов:

\(\cos\alpha=\dfrac{(7\sqrt3)^2+12^2-9^2}{2\cdot7\sqrt3\cdot12}=\dfrac{147+144-81}{168\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{12}\).

Следовательно, \(\alpha=\arccos\left(\dfrac{5\sqrt3}{12}\right)\approx44.2^\circ\).

Ответ: наименьший угол лежит напротив стороны 9 см и равен примерно 44.2°.