5. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 15, а в остатке 3. Найдите заданное число.

Решение:

Обозначим двузначное число как ingen10a + b ing, где a — цифра десятков, а b — цифра единиц. По условию:

1. Сумма цифр равна 12:
   \[ a + b = 12 \]
2. При делении числа на разность его цифр:
   \[ (10a + b) : (a - b) = 15 \text{ (остаток } 3) \]

   Из второго условия мы можем записать:

   \[ 10a + b = 15(a - b) + 3 \]

   Раскроем скобки и упростим:

   \[ 10a + b = 15a - 15b + 3 \]

   Перенесем переменные в одну сторону:

   \[ 15b + b + 10a - 15a = 3 \]

   \[ 16b - 5a = 3 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} a + b = 12 \\ -5a + 16b = 3 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим a:

\[ a = 12 - b \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ -5(12 - b) + 16b = 3 \]

\[ -60 + 5b + 16b = 3 \]

\[ 21b = 63 \]

\[ b = \frac{63}{21} = 3 \]

Теперь найдем a:

\[ a = 12 - b = 12 - 3 = 9 \]

Итак, цифра десятков a = 9, а цифра единиц b = 3. Искомое число — 93.

Проверка:

Сумма цифр: 9 + 3 = 12 (Верно).
Разность цифр: 9 - 3 = 6.
Деление: 93 : 6.
93 = 6 * 15 + 3 (93 = 90 + 3) (Верно).

Ответ: 93