5. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Известно, что это число в 12 раз больше разности его цифр. Найдите исходное число.

Дано:

• Двузначное число.
• Сумма его цифр равна 9.
• Число в 12 раз больше разности его цифр.

Решение:

1. Пусть двузначное число состоит из цифр x (десятки) и y (единицы).
2. Значение этого числа можно записать как 10x + y.
3. Из условия задачи имеем:
   • x + y = 9 (сумма цифр равна 9)
   • 10x + y = 12 * (x - y) (число в 12 раз больше разности цифр)
4. Раскроем второе уравнение:
   • \[ 10x + y = 12x - 12y \]
5. Перенесем члены уравнения, чтобы сгруппировать x и y:
   • \[ 10x - 12x + y + 12y = 0 \]
   • \[ -2x + 13y = 0 \]
6. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
   • \[ \begin{cases} x + y = 9 \\ -2x + 13y = 0 \end{cases} \]
7. Из первого уравнения выразим x:
   • \[ x = 9 - y \]
8. Подставим это выражение во второе уравнение:
   • \[ -2(9 - y) + 13y = 0 \]
   • \[ -18 + 2y + 13y = 0 \]
   • \[ -18 + 15y = 0 \]
   • \[ 15y = 18 \]
   • \[ y = \frac{18}{15} = \frac{6}{5} \]
9. Полученное значение y (6/5) не является целой цифрой, что означает, что разность цифр должна быть взята по модулю, или что порядок цифр в разности может быть другим. Давайте рассмотрим другой вариант разности: y - x.
10. Новое второе уравнение: 10x + y = 12 * (y - x).
11. Раскроем это уравнение:
    • \[ 10x + y = 12y - 12x \]
    • \[ 10x + 12x + y - 12y = 0 \]
    • \[ 22x - 11y = 0 \]
    • Разделим на 11:
      • \[ 2x - y = 0 \]
      • \[ y = 2x \]
12. Теперь решим систему:
    • \[ \begin{cases} x + y = 9 \\ y = 2x \end{cases} \]
13. Подставим y = 2x в первое уравнение:
    • \[ x + 2x = 9 \]
    • \[ 3x = 9 \]
    • \[ x = 3 \]
14. Найдем y:
    • \[ y = 2 * 3 = 6 \]
15. Проверим полученные цифры. Число - 36. Сумма цифр: 3 + 6 = 9. Разность цифр (большей от меньшей): 6 - 3 = 3. Число (36) в 12 раз больше разности (3)? 36 = 12 * 3. Верно.

Ответ: Исходное число - 36.