5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S = 1+4t-t²(м), где t – время движения в секундах. Через какое время после начала движения тело остановится?

Решение:

Чтобы тело остановилось, его скорость должна быть равна нулю. Скорость \(v\) — это первая производная от расстояния \(S\) по времени \(t\).

1. Найдем производную функции \(S(t) = 1 + 4t - t^2\):
   \[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(1 + 4t - t^2) = 4 - 2t \]
2. Приравняем скорость к нулю, чтобы найти время остановки: \(v(t) = 0\)
   \[ 4 - 2t = 0 \]
   \[ 2t = 4 \]
   \[ t = \frac{4}{2} = 2 \]

Ответ: Тело остановится через 2 секунды.