8. Решите уравнение: cos²x + 6 sinx - 6 = 0.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), откуда \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

1. Подставим замену в уравнение: \( (1 - \sin^2 x) + 6 \sin x - 6 = 0 \).
2. Перегруппируем члены: \( -\sin^2 x + 6 \sin x - 5 = 0 \).
3. Умножим на -1: \( \sin^2 x - 6 \sin x + 5 = 0 \).
4. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 6y + 5 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение относительно \(y\):
   \[ (y-1)(y-5) = 0 \]
6. Получаем два возможных значения для \(y\): \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 5 \).
7. Вернёмся к замене:
• \( \sin x = 1 \). Это возможно. Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \(n\) — любое целое число.
• \( \sin x = 5 \). Это невозможно, так как область значений синуса — \([-1, 1]\).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).