9. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = 2x³-3x²-12x - 1 на отрезке [-1; 2].

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно найти значения функции в критических точках (где производная равна нулю или не существует) и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 1 \):
   \[ y' = 6x^2 - 6x - 12 \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \]
3. Разделим на 6: \( x^2 - x - 2 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).
   \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]
   \[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
5. Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -1 \). Обе точки принадлежат заданному отрезку \([-1; 2]\).
6. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка (которые в данном случае совпадают с критическими точками):
• При \( x = -1 \): \( y(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) - 1 = 2(-1) - 3(1) + 12 - 1 = -2 - 3 + 12 - 1 = 6 \).
• При \( x = 2 \): \( y(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) - 1 = 2(8) - 3(4) - 24 - 1 = 16 - 12 - 24 - 1 = 4 - 24 - 1 = -20 - 1 = -21 \).
7. Сравним полученные значения: \( 6 \) и \( -21 \).

Наибольшее значение функции равно \( 6 \).

Наименьшее значение функции равно \( -21 \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение равно -21.