5. Тело движется прямолинейно по закону x(t) = 3t⁴ - 2t³ + 1 (х в метрах, t в секундах). Найдите его скорость в момент времени t=2.

Решение:

Скорость тела является производной от его положения по времени. Найдём производную функции положения \( x(t) \):

\( x(t) = 3t^4 - 2t^3 + 1 \)

\( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(3t^4 - 2t^3 + 1) \)

Применяем правила дифференцирования:

\( v(t) = 3 \cdot (4t^{4-1}) - 2 \cdot (3t^{3-1}) + 0 \)

\( v(t) = 12t^3 - 6t^2 \)

Теперь подставим значение \( t = 2 \) секунд, чтобы найти скорость в этот момент:

\( v(2) = 12(2)^3 - 6(2)^2 \)

\( v(2) = 12(8) - 6(4) \)

\( v(2) = 96 - 24 \)

\( v(2) = 72 \)

Скорость измеряется в метрах в секунду.

Ответ: 72 м/с