8. Найдите наименьшее значение функции y=х³ -х² - 40x + 3 на отрезке [0; 4]

Задание 8. Наименьшее значение функции

Дано: функция \( y = x^3 - x^2 - 40x + 3 \) и отрезок \( [0; 4] \).

Найти: наименьшее значение функции на заданном отрезке.

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = 3x^2 - 2x - 40 \).
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \( 3x^2 - 2x - 40 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{-(-2) ± √{(-2)^2 - 4 · 3 · (-40)}}{2 · 3} = \frac{2 ± √{4 + 480}}{6} = \frac{2 ± √{484}}{6} = \frac{2 ± 22}{6} \).
4. Получаем две критические точки: \( x_1 = \frac{2 + 22}{6} = \frac{24}{6} = 4 \) и \( x_2 = \frac{2 - 22}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \).
5. Нас интересует отрезок \( [0; 4] \). Из критических точек на этот отрезок попадает только \( x = 4 \).
6. Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках, попадающих на отрезок:
• При \( x = 0 \): \( y(0) = 0^3 - 0^2 - 40 · 0 + 3 = 3 \).
• При \( x = 4 \): \( y(4) = 4^3 - 4^2 - 40 · 4 + 3 = 64 - 16 - 160 + 3 = 48 - 160 + 3 = -112 + 3 = -109 \).
7. Сравним полученные значения: 3 и -109. Наименьшее значение равно -109.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [0; 4] равно -109.