5. Тип 5 № 1383 В треугольнике АВС проведена биссектриса AL, угол ALC равен 78°, угол АВС равен 52°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. AL — биссектриса угла A. Это значит, что \( ∠ BAL = ∠ CAL \).

В треугольнике ALC, \( ∠ ALC = 78^\circ \) (дано).

Угол \( ∠ ALC \) и угол \( ∠ ALB \) — смежные. Их сумма равна 180°.

\( ∠ ALB = 180^\circ - ∠ ALC = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ \).

Теперь рассмотрим треугольник ABL. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

\( ∠ BAL + ∠ ALB + ∠ ABC = 180^\circ \)

\( ∠ BAL + 102^\circ + 52^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ BAL + 154^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ BAL = 180^\circ - 154^\circ = 26^\circ \).

Так как AL — биссектриса, то \( ∠ CAL = ∠ BAL = 26^\circ \).

Угол \( ∠ BAC \) равен сумме углов \( ∠ BAL \) и \( ∠ CAL \):

\( ∠ BAC = ∠ BAL + ∠ CAL = 26^\circ + 26^\circ = 52^\circ \).

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в нем равна 180°.

\( ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180^\circ \)

\( 52^\circ + 52^\circ + ∠ ACB = 180^\circ \)

\( 104^\circ + ∠ ACB = 180^\circ \)

\( ∠ ACB = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ \).

Ответ: 76