5. Точки А, В и С лежат на окружности с центром в точке О. Длина дуги АВ относится к длине дуги ВС как 3:5, угол АВС=60°. Чему равен угол АОВ?

Обоснование: Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Отношение длин дуг равно отношению центральных углов, опирающихся на эти дуги.

1. Дано: \( ∠ ABC = 60^° \), дуга AB : дуга BC = 3 : 5.
2. Найти: \( ∠ AOB \).
3. Решение:
• Так как \( ∠ ABC = 60^° \), то дуга AC, на которую он опирается, равна \( 60^° · 2 = 120^° \).
• Пусть дуга AB = 3x, тогда дуга BC = 5x.
• Сумма дуг AB, BC и AC равна 360°.
• \( 3x + 5x + 120^° = 360^° \)
• \( 8x = 360^° - 120^° \)
• \( 8x = 240^° \)
• \( x = 30^° \)
• Дуга AB = \( 3x = 3 · 30^° = 90^° \).
• Центральный угол \( ∠ AOB \) равен дуге AB.
• \( ∠ AOB = 90^° \).

Ответ: 90°