5. Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол А четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть градусные величины дуг AB, BC, CD и AD равны 4x, 2x, 3x и 6x соответственно. Полная окружность равна 360°. Сумма всех дуг равна 360°:

• \[ 4x + 2x + 3x + 6x = 360° \]
• \[ 15x = 360° \]
• \[ x = \frac{360°}{15} \]
• \[ x = 24° \]

Теперь найдем градусные величины каждой дуги:

• Дуга AB = 4x = 4 * 24° = 96°
• Дуга BC = 2x = 2 * 24° = 48°
• Дуга CD = 3x = 3 * 24° = 72°
• Дуга AD = 6x = 6 * 24° = 144°

Угол A четырехугольника ABCD является вписанным углом, который опирается на дугу BCD. Дуга BCD равна сумме дуг BC и CD:

• \[ \text{Дуга } BCD = \text{Дуга } BC + \text{Дуга } CD \]
• \[ \text{Дуга } BCD = 48° + 72° \]
• \[ \text{Дуга } BCD = 120° \]

Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается:

• \[ \angle A = \frac{1}{2} \times \text{Дуга } BCD \]
• \[ \angle A = \frac{1}{2} \times 120° \]
• \[ \angle A = 60° \]

Ответ: 60°