5. Укажите решение неравенства \( 5x - x^2 > 0 \).

Решение:

Решим неравенство \( 5x - x^2 > 0 \). Вынесем \(x\) за скобки:

\[ x(5 - x) > 0 \]

Найдем корни соответствующего уравнения \( x(5 - x) = 0 \). Корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 5 \).

Эти корни разбивают числовую ось на три промежутка: \( (-\infty; 0) \), \( (0; 5) \) и \( (5; +\infty) \). Определим знак выражения \( x(5 - x) \) в каждом промежутке:

• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( (-1)(5 - (-1)) = (-1)(6) = -6 < 0 \).
• При \( 0 < x < 5 \) (например, \( x = 1 \)): \( (1)(5 - 1) = (1)(4) = 4 > 0 \).
• При \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (6)(5 - 6) = (6)(-1) = -6 < 0 \).

Нам нужно, чтобы \( x(5 - x) > 0 \), то есть решение — промежуток \( (0; 5) \).

Ответ: 2) (0;5)