5. В четырёхугольнике ABCD AB = CD, ∠ABD = ∠BDC. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CDB\).

1. \(AB=CD\) по условию.
2. \(BD=DB\) — общая сторона.
3. \(\angle ABD=\angle BDC\) по условию.

Следовательно, треугольники \(ABD\) и \(CDB\) равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что \(\angle ADB=\angle CBD\). Это накрест лежащие углы при пересечении прямых \(AD\) и \(BC\) секущей \(BD\), поэтому \(AD\parallel BC\).

Также из условия \(\angle ABD=\angle BDC\) следует, что \(AB\parallel CD\) как накрест лежащие углы.

В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.