5. В группе учится 30 студентов, из них 20 сдали зачёт по истории и 15 сдали зачёт по русскому языку. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) Менее 16 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 2) Хотя бы 5 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по русскому языку. 3) В этой группе найдётся 11 студентов, не сдавших ни одного из этих двух зачётов. 4) Если студент этой группы сдал зачёт по истории, то он сдал и зачёт по русскому языку.

Пусть число студентов, сдавших оба зачёта, равно \(x\).

1. Максимально оба зачёта могли сдать 15 студентов, поэтому \(x\leqslant15\). Следовательно, утверждение 1 истинно.
2. По принципу включения-исключения \(x\geqslant20+15-30=5\). Следовательно, утверждение 2 истинно.
3. Число студентов, не сдавших ни одного зачёта, равно \(30-(20+15-x)=x-5\), то есть не более 10. Утверждение 3 ложно.
4. Из условия не следует, что все сдавшие историю сдали русский язык. Утверждение 4 ложно.

Ответ: 12