5. В институте 8000 студентов. Каждый изучает хотя бы один из двух иностранных языков: английский или немецкий. Английский язык изучают 70% студентов, а 50% немецкий. Сколько студентов изучают оба языка?

Решение:

1. Найдем количество студентов, изучающих английский язык: \( 8000 \text{ студентов} \times 0.70 = 5600 \text{ студентов} \).
2. Найдем количество студентов, изучающих немецкий язык: \( 8000 \text{ студентов} \times 0.50 = 4000 \text{ студентов} \).
3. Общее количество студентов, изучающих хотя бы один язык, равно общему числу студентов, так как каждый изучает хотя бы один язык.
4. Используем формулу включения-исключения: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \), где \( |A| \) — число студентов, изучающих английский, \( |B| \) — число студентов, изучающих немецкий, \( |A \cup B| \) — общее число студентов, \( |A \cap B| \) — число студентов, изучающих оба языка.
5. Подставим значения: \( 8000 = 5600 + 4000 - |A \cap B| \).
6. \( 8000 = 9600 - |A \cap B| \).
7. Найдем количество студентов, изучающих оба языка: \( |A \cap B| = 9600 - 8000 = 1600 \text{ студентов} \).

Ответ: 1600 студентов.