5. В институте 8000 студентов. Каждый изучает хотя бы один из двух иностранных языков: английский или немецкий. Английский язык изучают 70% студентов, а 50% немецкий. Сколько студентов изучают оба языка?

Решение:

1. Пусть \( N \) – общее количество студентов, \( N = 8000 \).
2. Количество студентов, изучающих английский язык: \( 0.70 \times 8000 = 5600 \) студентов.
3. Количество студентов, изучающих немецкий язык: \( 0.50 \times 8000 = 4000 \) студентов.
4. Так как каждый студент изучает хотя бы один язык, то сумма изучающих английский и немецкий языки превышает общее количество студентов на число тех, кто изучает оба языка.
5. Количество студентов, изучающих оба языка: \( (5600 + 4000) - 8000 = 9600 - 8000 = 1600 \) студентов.

Ответ: 1600 студентов.