5. В институте 8000 студентов. Каждый изучает хотя бы один из двух иностранныхязыков: английский или немецкий. Английский язык изучают 70% студентов, а 50%немецкий. Сколько студентов изучают оба языка?

Решение:

1. Обозначим общее количество студентов как \( N = 8000 \).
2. Количество студентов, изучающих английский язык: \( 0.70 \cdot 8000 = 5600 \).
3. Количество студентов, изучающих немецкий язык: \( 0.50 \cdot 8000 = 4000 \).
4. Пусть \( A \) — множество студентов, изучающих английский, а \( B \) — множество студентов, изучающих немецкий. Тогда \( |A| = 5600 \) и \( |B| = 4000 \).
5. По условию, каждый студент изучает хотя бы один язык, значит, \( |A \cup B| = 8000 \).
6. Используем формулу включения-исключения: \( |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \).
7. Найдём количество студентов, изучающих оба языка \( |A \cap B| \): \( 8000 = 5600 + 4000 - |A \cap B| \) \( 8000 = 9600 - |A \cap B| \) \( |A \cap B| = 9600 - 8000 = 1600 \).

Ответ: 1600 студентов.