5. В окружность с радиусом 10 см вписан треугольник, одна из сторон которого является диаметром, а другая — равна 16 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Если одна из сторон треугольника является диаметром окружности, то этот треугольник является прямоугольным (по теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр). Диаметр окружности равен \( 2 \cdot 10 = 20 \) см.

Итак, мы имеем прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c = 20 \) см и одним катетом \( a = 16 \) см.

Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

\( 16^2 + b^2 = 20^2 \)

\( 256 + b^2 = 400 \)

\( b^2 = 400 - 256 \)

\( b^2 = 144 \)

\( b = \sqrt{144} = 12 \) см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2} a b \).

\( S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96 \) см².

Ответ: 96 см²