5. В основании прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD, у которого BD ⟂ AB, AB = 3 см, BD = 4 см. Плоскость AB₁C₁ составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

В треугольнике ABD угол B прямой, поэтому AD = √(AB² + BD²) = √(3² + 4²) = 5 см. Стороны основания параллелограмма равны 3 см и 5 см.

Площадь основания можно найти по диагонали BD: треугольник ABD имеет площадь 3 · 4 / 2 = 6 см², а диагональ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника. Значит, S_осн = 12 см².

Обозначим высоту прямого параллелепипеда через h. Возьмём координаты A = (0, 0, 0), B = (3, 0, 0), D = (3, 4, 0); тогда C = (6, 4, 0), а верхние вершины смещены на h по вертикали. Нормаль к плоскости AB₁C₁ пропорциональна вектору (−4h, 3h, 12). Угол между этой плоскостью и основанием равен 45°, поэтому горизонтальная составляющая нормали равна по длине её вертикальной составляющей: √(16h² + 9h²) = 12. Отсюда 5h = 12 и h = 12/5 см.

Периметр основания равен 2(3 + 5) = 16 см. Площадь боковой поверхности равна 16 · 12/5 = 192/5 см². Тогда площадь полной поверхности равна 2 · 12 + 192/5 = 312/5 = 62,4 см².

Ответ: 62,4 см².