5. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A – B – K, D – C – P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂, M₁M₂ = 8 см. Найдите AD.

Обозначим \(BC=a\). Введём единичные векторы вдоль сторон \(BC\) и \(BA\): \(\vec e\) и \(\vec u\).

Направление биссектрисы угла \(ABC\) пропорционально \(\vec e+\vec u\), а биссектрисы угла \(KBC\) — \(\vec e-\vec u\). Аналогично, используя параллельность противоположных сторон, получаем:

\[M_1=\frac a2(\vec e+\vec u),\qquad M_2=\frac a2(\vec e-\vec u).\]

Тогда

\[\overrightarrow{M_1M_2}=M_2-M_1=-a\vec u.\]

Так как \(\vec u\) — единичный вектор, то \(M_1M_2=a=BC\).

В параллелограмме противоположные стороны равны:

\[AD=BC=M_1M_2=8\text{ см}.\]

Ответ: 8 см.