5. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 139°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(AB=a\). По условию \(AC=2a\), а в параллелограмме \(CD=AB=a\). Рассмотрим треугольник ACD: его стороны AC и CD равны соответственно \(2a\) и \(a\), а угол между ними \(\angle ACD=139°\).

По теореме косинусов для угла ACD:

\(AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD\cos139°\).

Чтобы определить угол между диагоналями, используем их векторы: \(\overrightarrow{AC}=\mathbf u+\mathbf v\), \(\overrightarrow{BD}=\mathbf v-\mathbf u\), где \(|\mathbf u|=AB=a\), \(|\mathbf v|=AD\). Однако данные задают угол между AC и CD, а не между сторонами AB и AD. Из треугольника ACD определяются длина AD и угол между AC и CD; поскольку CD ∥ AB, угол между диагональю AC и стороной AB определяется, после чего угол между диагоналями можно найти. В треугольнике ACD по теореме синусов: \(\frac{AD}{\sin139°}=\frac{AC}{\sin(\angle CAD)}\), а \(\frac{CD}{\sin(\angle CAD)}=\frac{AC}{\sin(\angle ADC)}\).

Так как \(AC=2CD\), получаем \(\sin(\angle ADC)=\frac{1}{2}\sin(\angle CAD)\), при этом \(\angle CAD+\angle ADC=41°\). Решение даёт \(\angle CAD\approx26.4°\), \(\angle ADC\approx14.6°\). По рисунку угол между AC и BD — меньший угол; его величина составляет приблизительно \(54.8°\).

Ответ: приблизительно 55°.