5. В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен α. Найдите объём пирамиды, если её высота равна h.

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида
• Высота пирамиды \(h\)
• Плоский угол при вершине \(\alpha\)

Найти: Объем пирамиды \(V_{pyr}\)

Решение:

Для нахождения объема пирамиды \(V_{pyr} = \frac{1}{3} S_{base} \cdot h\) нам нужно найти площадь основания \(S_{base}\).

В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и середины двух противоположных сторон основания. Это сечение будет равнобедренным треугольником, где боковые стороны — апофемы боковых граней, а основание — сторона основания квадрата \(a\). Плоский угол при вершине \(\alpha\) здесь не является углом такого сечения.

Плоский угол \(\alpha\) при вершине — это угол между двумя боковыми рёбрами, выходящими из одной вершины. Обозначим сторону основания как \(a\) и боковое ребро как \(l\). В правильной четырёхугольной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Плоский угол \(\alpha\) относится к углу между двумя боковыми рёбрами, идущими из одной вершины основания к вершине пирамиды. Однако, формулировка "плоский угол при вершине равен \(\alpha\)" обычно означает угол между двумя боковыми рёбрами, исходящими из одной вершины пирамиды. Давайте предположим, что \(\alpha\) — это угол между двумя боковыми рёбрами, выходящими из вершины пирамиды.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя боковыми ребрами \(l\) и стороной основания \(a\). Если \(\alpha\) - угол между двумя боковыми рёбрами, то это угол при вершине этого равнобедренного треугольника.

В правильной четырёхугольной пирамиде, если \(\alpha\) — это плоский угол при вершине (т.е. угол между двумя боковыми рёбрами, выходящими из одной вершины пирамиды), то рассмотрим треугольник, образованный двумя боковыми рёбрами \(l\) и стороной основания \(a\). Этот треугольник имеет угол \(\alpha\) при вершине пирамиды.

Боковое ребро \(l\) связано с высотой \(h\) и половиной диагонали основания \(\frac{d}{2}\) соотношением \(l^2 = h^2 + (d/2)^2\).

Диагональ основания \(d = a\sqrt{2}\), следовательно \(d/2 = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).

В треугольнике, образованном двумя боковыми ребрами \(l\) и стороной основания \(a\), если \(\alpha\) — угол при вершине, то по теореме косинусов:
\[ a^2 = l^2 + l^2 - 2l^2 \cos(\alpha) = 2l^2 (1 - \cos(\alpha)) \]

Из этого мы можем выразить \(l\) через \(a\) и \(\alpha\):
\[ l^2 = \frac{a^2}{2(1 - \cos(\alpha))} \]

Теперь свяжем \(l\) с \(h\):
\[ l^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = h^2 + \frac{a^2}{2} \]

Приравниваем выражения для \(l^2\):
\[ \frac{a^2}{2(1 - \cos(\alpha))} = h^2 + \frac{a^2}{2} \]
\[ \frac{a^2}{2} = h^2 (2(1 - \cos(\alpha))) + \frac{a^2}{2} (2(1 - \cos(\alpha))) \]
\[ \frac{a^2}{2} = 2h^2(1 - \cos(\alpha)) + a^2(1 - \cos(\alpha)) \]
\[ a^2 \left( \frac{1}{2} - (1 - \cos(\alpha)) \right) = 2h^2(1 - \cos(\alpha)) \]
\[ a^2 \left( \frac{1}{2} - 1 + \cos(\alpha) \right) = 2h^2(1 - \cos(\alpha)) \]
\[ a^2 \left( \cos(\alpha) - \frac{1}{2} \right) = 2h^2(1 - \cos(\alpha)) \]

Выразим \(a^2\):
\[ a^2 = \frac{2h^2(1 - \cos(\alpha))}{\cos(\alpha) - \frac{1}{2}} = \frac{4h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1} \]

Площадь основания \(S_{base} = a^2 = \frac{4h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1}\)

Теперь находим объем пирамиды:

\[ V_{pyr} = \frac{1}{3} S_{base} \cdot h \]
\[ V_{pyr} = \frac{1}{3} \left( \frac{4h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1} \right) \cdot h \]
\[ V_{pyr} = \frac{4h^3(1 - \cos(\alpha))}{3(2\cos(\alpha) - 1)} \]

Ответ: \(\frac{4h^3(1 - \cos(\alpha))}{3(2\cos(\alpha) - 1)}\)