5. В прямоугольнике ABCD известно, что отношение углов BCA и DCA равно 1 : 5, AC = 18. Найдите расстояние от точки C до диагонали BD.

Угол \(BCD\) прямоугольника равен \(90^\circ\). Углы \(BCA\) и \(DCA\) относятся как \(1:5\), поэтому они равны \(15^\circ\) и \(75^\circ\) соответственно.

В прямоугольном треугольнике \(BCD\) гипотенуза \(CD=AC\cdot\sin15^\circ\), а катет \(BC=AC\cdot\cos15^\circ\). Угол между диагоналями \(AC\) и \(BD\) равен \(30^\circ\). Площадь треугольника \(BCD\) можно записать как \(\frac12 AC\cdot BD\cdot\sin30^\circ\), а также как \(\frac12 BD\cdot h\), где \(h\) — искомое расстояние от C до BD.

Приравнивая выражения, получаем \(h=AC\sin30^\circ=18\cdot\frac12=9\).

Ответ: 9.