5. В прямоугольнике XPDO точка N является точкой пересечения диагоналей. ∠XOP = 30°, PO = 52 см. Найдите углы и периметр треугольника XNP.

Так как \(XPDO\) — прямоугольник, диагонали пересекаются и делятся пополам в точке \(N\). Поэтому \(NX=NP\), и треугольник \(XNP\) равнобедренный.

Угол \(\angle XOP=30^\circ\) — угол между диагональю \(OX\) и стороной \(OP\). Диагонали симметричны относительно перпендикулярной стороны, поэтому угол при вершине \(N\) равен \(2\cdot30^\circ=60^\circ\).

В равнобедренном треугольнике остальные углы:

\(\angle NXP=\angle XPN=\dfrac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ\).

Следовательно, треугольник \(XNP\) равносторонний. Его сторона равна половине диагонали прямоугольника, а по условию \(PO=52\) см; при угле \(30^\circ\) диагональ в данном треугольном соотношении даёт \(NP=26\) см.

Периметр:

\(P_{\triangle XNP}=3\cdot26=78\) см.

Ответ: \(\angle XNP=\angle NXP=\angle XPN=60^\circ\); периметр треугольника — 78 см.