5) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена высота CK. Из точки K проведены перпендикуляры KM и KN к катетам треугольника ABC. Найдите расстояние между точками M и N, если CK = 5.

Пусть катеты направлены вдоль осей координат: \(C=(0,0)\), \(A=(a,0)\), \(B=(0,b)\). Тогда \(K=(x,y)\), а основания перпендикуляров на катеты — \(M=(x,0)\) и \(N=(0,y)\).

Следовательно, \(MN=\sqrt{x^2+y^2}=CK\), поскольку отрезки CK и MN имеют одинаковые горизонтальную и вертикальную составляющие.

При \(CK=5\) получаем \(MN=5\).

Ответ: 5.