5. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен α, а катет, прилежащий к данному углу, равен a. Найдите биссектрису прямого угла.

Обозначим второй катет через b. Из определения тангенса угла α следует: b = a tan α.

Длина биссектрисы прямого угла в прямоугольном треугольнике с катетами a и b равна ab√2 / (a + b). Подставим b = a tan α:

l = a · a tan α · √2 / (a + a tan α) = a√2 tan α / (1 + tan α).

Ответ: биссектриса прямого угла равна a√2 tan α / (1 + tan α).