5.В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим длину боковой стороны равнобедренного треугольника. Периметр равен сумме всех сторон.
   \( P = a + b + c \)
   В равнобедренном треугольнике две стороны равны (обозначим их \( b \)), основание \( a \).
   \( 32 = 12 + 2b \)
   \( 2b = 32 - 12 \)
   \( 2b = 20 \)
   \( b = 10 \) см.
2. Шаг 2: Находим площадь треугольника. Для этого нам понадобится высота. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, делит его пополам. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см (половина основания).
   Используем теорему Пифагора: \( h^{2} + 6^{2} = 10^{2} \)
   \( h^{2} + 36 = 100 \)
   \( h^{2} = 100 - 36 \)
   \( h^{2} = 64 \)
   \( h = 8 \) см.
   Площадь треугольника: \( S = ½ · основание · высота \)
   \( S = ½ · 12 · 8 \)
   \( S = 48 \) см².
3. Шаг 3: Находим полупериметр.
   \( p = P : 2 \)
   \( p = 32 : 2 = 16 \) см.
4. Шаг 4: Находим радиус вписанной окружности по формуле \( S = p · r \).
   \( 48 = 16 · r \)
   \( r = 48 : 16 \)
   \( r = 3 \) см.

Ответ: 3 см