5. В ромбе MNRK с тупым углом K диагонали пересекаются в точке E. Один из углов треугольника RKE равен 60°. Найти углы ромба.

Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам, поэтому ∠REK = 90°. Углы треугольника RKE в сумме равны 180°, значит два остальных угла в сумме равны 90°.

Так как один из углов треугольника равен 60°, это не может быть прямой угол ∠REK. Угол при R тоже не может равняться 60°: диагональ RM делит угол R пополам, и тогда ∠R = 120°, а смежный с ним ∠K = 60° был бы острым, вопреки условию. Следовательно, ∠RKE = 60°.

Диагональ KN делит угол K пополам, поэтому ∠K = 2 · 60° = 120°. Соседние углы ромба supplementary, а противоположные равны: ∠N = ∠K = 120°, ∠M = ∠R = 60°.

Ответ: ∠K = ∠N = 120°, ∠M = ∠R = 60°.