5. В санатории зимой отдыхали 1200 мужчин и женщин. Летом число отдыхающих мужчин уменьшилось на 10%, число женщин увеличилось на 20%, а их общее число увеличилось на 75 человек. Сколько мужчин и сколько женщин отдыхали в санатории летом?

Решение:

1. Обозначения:
   • Пусть M - число мужчин зимой, Ж - число женщин зимой.
   • M = 1200.
   • Пусть Мл - число мужчин летом, Жл - число женщин летом.
2. Зимний состав:
   • M + Ж = 1200
   • 1200 + Ж = 1200 => Ж = 0. (Это кажется нелогичным, возможно, 1200 - это общее число отдыхающих, а не только мужчин. Перечитаем: "В санатории зимой отдыхали 1200 мужчин и женщин." Это значит, что 1200 - общее число, а не только мужчин.)
   • Пусть M_зима - число мужчин зимой, Ж_зима - число женщин зимой.
   • M_зима + Ж_зима = 1200
3. Изменения летом:
   • Число мужчин уменьшилось на 10%: Мл = M_зима - 0.10 * M_зима = 0.90 * M_зима
   • Число женщин увеличилось на 20%: Жл = Ж_зима + 0.20 * Ж_зима = 1.20 * Ж_зима
   • Общее число увеличилось на 75 человек: Мл + Жл = 1200 + 75 = 1275
4. Составим систему уравнений:
   • \[ \begin{cases} M_{зима} + Ж_{зима} = 1200 \\ 0.90 * M_{зима} + 1.20 * Ж_{зима} = 1275 \end{cases} \]
   • Выразим M_зима из первого уравнения:
     • \[ M_{зима} = 1200 - Ж_{зима} \]
   • Подставим во второе уравнение:
     • \[ 0.90 * (1200 - Ж_{зима}) + 1.20 * Ж_{зима} = 1275 \]
     • \[ 1080 - 0.90 * Ж_{зима} + 1.20 * Ж_{зима} = 1275 \]
     • \[ 0.30 * Ж_{зима} = 1275 - 1080 \]
     • \[ 0.30 * Ж_{зима} = 195 \]
     • \[ Ж_{зима} = \frac{195}{0.30} \]
     • \[ Ж_{зима} = 650 \]
   • Найдем число мужчин зимой:
     • \[ M_{зима} = 1200 - 650 \]
     • \[ M_{зима} = 550 \]
   • Найдем число мужчин и женщин летом:
     • Мл = 0.90 * M_зима = 0.90 * 550 = 495
     • Жл = 1.20 * Ж_зима = 1.20 * 650 = 780
   • Проверка: 495 + 780 = 1275. Верно.

Ответ: Летом в санатории отдыхали 495 мужчин и 780 женщин.