5. В трапеции ABCD (∠D=∠C=90°), BC=3, CD=6, BD перпендикулярна AB. Найдите площадь трапеции.

Высота трапеции равна \(CD=6\), верхнее основание \(BC=3\). Обозначим \(DH=x\), тогда \(AB=HA\), поскольку \(BD\perp AB\) и треугольник \(DBA\) прямоугольный с высотой к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике \(BCD\): \(BD^2=BC^2+CD^2=3^2+6^2=45\). По свойству высоты к гипотенузе \(DH=\frac{CD^2}{BD}=\frac{36}{3\sqrt5}=\frac{12\sqrt5}{5}\).

Кроме того, \(BH=3\), поэтому \(AB=\frac{BD^2}{BH}=\frac{45}{3}=15\). Нижнее основание \(DA=DH+HA=DH+AB=15+\frac{12\sqrt5}{5}\).

Площадь: \(S=\frac{(BC+DA)\cdot CD}{2}=\frac{\left(3+15+\frac{12\sqrt5}{5}\right)\cdot6}{2}=54+\frac{36\sqrt5}{5}\) см².

Ответ: \(54+\frac{36\sqrt5}{5}\) см².