5. В треугольнике ABC AB = 4√3, BC = 3, Sₐᵦ꜀ = 3√3. Найти AC.

Площадь через две стороны и угол между ними даёт:

\(3\sqrt3=\frac12\cdot4\sqrt3\cdot3\cdot\sin B\), откуда \(\sin B=\frac12\).

Возможны два угла: \(B=30^\circ\) или \(B=150^\circ\). Данных, чтобы выбрать один из них, нет; найдём AC для каждого случая по теореме косинусов.

Если \(B=30^\circ\): \(AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos B=48+9-36=21\), значит \(AC=\sqrt{21}\).

Если \(B=150^\circ\): \(AC^2=48+9+36=93\), значит \(AC=\sqrt{93}\).

Ответ: \(AC=\sqrt{21}\) или \(AC=\sqrt{93}\).