5. В треугольнике ABC AB = 4√3, BC = 3, SABC = 3√3. Найти AC.

Площадь треугольника выражается формулой:

\[S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot\sin B.\]

Найдём синус угла \(B\):

\[\sin B=\frac{2S_{ABC}}{AB\cdot BC}=\frac{2\cdot3\sqrt3}{4\sqrt3\cdot3}=\frac12.\]

Возможны два значения угла: \(B=30^\circ\) или \(B=150^\circ\). Поэтому задача имеет два решения.

1) Если \(B=30^\circ\):

По теореме косинусов:

\[AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos30^\circ=48+9-2\cdot4\sqrt3\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=21.\]

\[AC=\sqrt{21}.\]

2) Если \(B=150^\circ\):

\[AC^2=48+9-2\cdot4\sqrt3\cdot3\cdot\cos150^\circ=48+9+36=93.\]

\[AC=\sqrt{93}.\]

Ответ: \(AC=\sqrt{21}\) или \(AC=\sqrt{93}\).