№5. В треугольнике ABC проведена биссектриса CH. Найдите синус угла C, если AC = 15 см, CH = 6 см, BC = 5 см, cos∠ACH = 4/5.

CH — биссектриса, значит \(\angle ACH=\frac{C}{2}\). По условию \(\cos\frac{C}{2}=\frac{4}{5}\). Так как угол треугольника острый или тупой, его половина лежит между 0° и 90°, поэтому \(\sin\frac{C}{2}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{3}{5}\).

Применяем формулу двойного угла:

\(\sin C=2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}\).

Ответ: \(\sin C=\frac{24}{25}\).