5. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 2 и BC = BM. Найдите AH.

Поскольку BM — медиана, точка M — середина AC. Значит, \(AM=MC=\frac{2}{2}=1\).

Положим A = 0, C = 2 на прямой AC. Тогда M имеет координату 1. Так как BH — высота, точка H — проекция B на AC. Из равенства BC = BM следует, что проекция B равноудалена от C и M:

\((AH-2)^2+BH^2=(AH-1)^2+BH^2\).

Отсюда \((AH-2)^2=(AH-1)^2\), значит, \(AH=\frac32\). (Эквивалентно, H — середина отрезка MC.)

Ответ: 1,5.