5) В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠ACB = 72°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 6.

Так как \(AB=BC\), углы при основании AC равны: \(\angle BAC=\angle ACB=72^\circ\). Тогда \(\angle ABC=36^\circ\).

В треугольнике ABX равны стороны \(AX=BX\), поэтому равны и углы напротив них: \(\angle BAX=\angle ABX\). Луч BX лежит на BC, следовательно, \(\angle ABX=\angle ABC=36^\circ\), а значит, \(\angle BAX=36^\circ\). По условию \(\angle YAX=36^\circ\).

Поскольку X лежит между B и Y, луч XY противоположен лучу XB. Из \(\angle AXB=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ\) следует \(\angle AXY=180^\circ-108^\circ=72^\circ\). Тогда \(\angle AYX=180^\circ-36^\circ-72^\circ=72^\circ\).

В треугольнике AXY углы при X и Y равны, поэтому противоположные им стороны равны: \(AY=AX=6\).

Ответ: 6.