5. Внутри угла BAC, равного 120°, проведён луч AK. Внутри угла BAK проведён луч AM. ∠BAK = 90°, ∠MAC = 60°. Найдите угол между биссектрисами углов BAM и CAK.

∠KAC = ∠BAC − ∠BAK = 120° − 90° = 30°.

Так как луч AM лежит внутри ∠BAK, ∠MAK = ∠MAC − ∠KAC = 60° − 30° = 30°. Следовательно, ∠BAM = 90° − 30° = 60°.

Биссектриса ∠BAM образует с лучом AB угол 30°. Биссектриса ∠CAK образует с лучом AK угол 15°. Так как ∠BAK = 90°, угол между биссектрисами равен 30° + 90° − 15° = 105°? Проверим расположение: лучи от AB к AC идут в порядке AK, AM, AC, а биссектриса ∠BAM лежит на 30° от AB; биссектриса ∠CAK — на 15° от AK в сторону AC, то есть на 105° от AB. Разность направлений равна 105° − 30° = 75°.

Ответ: 75°.