5. Внутри угла BCD, равного 120°, проведён луч CK. Внутри угла BCK проведён луч CM. ∠BCK = 90°; ∠MCD = 80°. Найдите угол между биссектрисами углов BCM и KCD.

∠KCD = ∠BCD − ∠BCK = 120° − 90° = 30°.

Поскольку CM лежит внутри ∠BCK, имеем ∠MCD = ∠MCK + ∠KCD. Значит, ∠MCK = 80° − 30° = 50°.

Тогда ∠BCM = ∠BCK − ∠MCK = 90° − 50° = 40°. Его биссектриса делит этот угол пополам.

Расположим луч CB за начальное направление: лучи CM, CK и CD образуют с ним углы соответственно 40°, 90° и 120°. Биссектриса ∠BCM направлена под углом 20°, а биссектриса ∠KCD — под углом (90° + 120°) : 2 = 105°. Угол между биссектрисами равен 105° − 20° = 85°.

Ответ: 85°.