5. Вычислить предел функции: $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^{5x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Вычислить предел функции: $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^{5x}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Используем стандартный предел $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\left(1+\frac1t\right)^t=e$. Представим выражение так:

$\displaystyle \left(1+\frac1x\right)^{5x}=\left[\left(1+\frac1x\right)^x\right]^5$.

При $x\to\infty$ выражение в квадратных скобках стремится к $e$, поэтому предел равен $e^5$.

Ответ: $e^5$.

5. Вычислить предел функции: \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^{5x}\).