5. Вычислите: 1) \(\frac{3^{10} \cdot 27^3}{9^9}\); 2) \( (5\frac{1}{3})^7 \cdot (\frac{3}{16})^8 \)

Решение:

1. \( \frac{3^{10} \cdot 27^3}{9^9} \)
   Представим числа 27 и 9 как степени числа 3:
   \( 27 = 3^3 \)
   \( 9 = 3^2 \)
   Подставим в выражение:
   \( \frac{3^{10} \cdot (3^3)^3}{(3^2)^9} = \frac{3^{10} \cdot 3^{3 \cdot 3}}{3^{2 \cdot 9}} = \frac{3^{10} \cdot 3^9}{3^{18}} \)
   Применим свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \( \frac{3^{10+9}}{3^{18}} = \frac{3^{19}}{3^{18}} = 3^{19-18} = 3^1 = 3 \)
2. \( (5\frac{1}{3})^7 \cdot (\frac{3}{16})^8 \)
   Представим смешанное число как неправильную дробь:
   \( 5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3} \)
   Подставим в выражение:
   \( (\frac{16}{3})^7 \cdot (\frac{3}{16})^8 = \frac{16^7}{3^7} \cdot \frac{3^8}{16^8} \)
   Перепишем для удобства:
   \( \frac{16^7}{16^8} \cdot \frac{3^8}{3^7} = 16^{7-8} \cdot 3^{8-7} = 16^{-1} \cdot 3^1 \)
   Применим свойство \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \):
   \( \frac{1}{16} \cdot 3 = \frac{3}{16} \)

Ответ: 1) 3; 2) \( \frac{3}{16} \).