8. Докажите, что значение выражения (7n + 19) - (3 + 5n) кратно 2 при любом натуральном значении n.

Решение:

Упростим данное выражение:

\( (7n + 19) - (3 + 5n) = 7n + 19 - 3 - 5n \)

Сгруппируем подобные слагаемые:

\( (7n - 5n) + (19 - 3) = 2n + 16 \)

Теперь вынесем общий множитель 2 за скобки:

\( 2n + 16 = 2(n + 8) \)

Поскольку \( n \) — любое натуральное число, то \( n + 8 \) также будет натуральным числом. Выражение \( 2(n + 8) \) представляет собой произведение числа 2 и некоторого натурального числа \( (n + 8) \). Это означает, что значение выражения \( 2n + 16 \) всегда делится на 2 без остатка, то есть кратно 2.

Доказательство: значение выражения \( (7n + 19) - (3 + 5n) \) равно \( 2(n + 8) \), что кратно 2 для любого натурального \( n \).