5. Выполните действия: ) (2a-b²) (2a+b²); б) (x−6x³)2; в) (у+b)² (y-b)².

Решение:

а) Разность квадратов:

1. Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = 2a \) и \( b = b^2 \).
2. \( (2a - b^2)(2a + b^2) = (2a)^2 - (b^2)^2 = 4a^2 - b^4 \).

б) Квадрат разности:

1. Применим формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), где \( a = x \) и \( b = 6x^3 \).
2. \( (x - 6x^3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (6x^3) + (6x^3)^2 = x^2 - 12x^4 + 36x^6 \).

в) Квадрат суммы и квадрат разности:

1. Применим формулы \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) и \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
2. \( (y+b)^2 = y^2 + 2yb + b^2 \)
3. \( (y-b)^2 = y^2 - 2yb + b^2 \)
4. Перемножим полученные выражения: \( (y^2 + 2yb + b^2)(y^2 - 2yb + b^2) \).
5. Это также можно представить как \( ((y^2+b^2) + 2yb)((y^2+b^2) - 2yb) \).
6. Применим формулу разности квадратов: \( (y^2+b^2)^2 - (2yb)^2 = y^4 + 2y^2b^2 + b^4 - 4y^2b^2 = y^4 - 2y^2b^2 + b^4 \).
7. Альтернативно, можно заметить, что \( (y+b)^2 (y-b)^2 = ((y+b)(y-b))^2 \).
8. \( (y+b)(y-b) = y^2 - b^2 \).
9. Тогда \( (y^2 - b^2)^2 = (y^2)^2 - 2y^2b^2 + (b^2)^2 = y^4 - 2y^2b^2 + b^4 \).

Ответ: а) 4a² - b⁴; б) x² - 12x⁴ + 36x⁶; в) y⁴ - 2y²b² + b⁴.