5. Высота BM, проведённая из вершины тупого угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°. AM = 6 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Поскольку BM — высота к AD, треугольник ABM прямоугольный с прямым углом при M. В нём ∠ABM = 30°, а сторона AM = 6 см лежит напротив угла 30°. В прямоугольном треугольнике она равна половине гипотенузы, значит, AB = 12 см. Это сторона ромба.

Так как ∠BAM = 60°, угол ромба A равен 60°, а угол B — 120°. Диагональ BD лежит напротив угла B в треугольнике ABD с AB = AD = 12 см.

По теореме косинусов:

BD² = 12² + 12² − 2 · 12 · 12 · cos 120° = 432.

Значит, BD = 12√3 см.

Ответ: 12√3 см.