5. Выяснить, каким числом, рациональным или иррациональным, является число: а) 1/(2√7 − 1) − 1/(2√7 + 1); б) √27 + √102; в) (3√2 + 2√5)(5√2 − 2√5).

1. а) Приведём к общему знаменателю, используя разность квадратов:

   \(\frac{1}{2\sqrt{7}-1}-\frac{1}{2\sqrt{7}+1}=\frac{(2\sqrt{7}+1)-(2\sqrt{7}-1)}{(2\sqrt{7})^2-1^2}=\frac{2}{27}\).

   Это рациональное число.

2. б) \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\), а \(\sqrt{102}\) не упрощается до рационального множителя при корне из целого квадрата. Проверим иррациональность суммы: если бы \(3\sqrt{3}+\sqrt{102}\) было рациональным числом \(r\), то после возведения в квадрат получили бы \(r^2=129+6\sqrt{306}\), откуда \(\sqrt{306}\) было бы рациональным. Но 306 не является полным квадратом. Значит, сумма иррациональна.

3. в) Раскроем скобки:

   \((3\sqrt{2}+2\sqrt{5})(5\sqrt{2}-2\sqrt{5})=30-20+10\sqrt{10}-6\sqrt{10}=10+4\sqrt{10}\).

   Поскольку \(\sqrt{10}\) иррационально, число \(10+4\sqrt{10}\) иррационально.

Ответ: а) рациональное; б) иррациональное; в) иррациональное.