5. (x^2 + x - 6)(x^2 + x - 12) ≤ 0

Решение:

Данное неравенство решается аналогично предыдущему, с помощью замены переменной.

Пусть \( y = x^2 + x \).

Тогда неравенство примет вид:

\( (y - 6)(y - 12) \le 0 \)

Найдем корни этого квадратного трёхчлена относительно \( y \):

• \( y - 6 = 0 \) => \( y = 6 \)
• \( y - 12 = 0 \) => \( y = 12 \)

Решением неравенства \( (y - 6)(y - 12) \le 0 \) является промежуток \( [6; 12] \).

Теперь вернёмся к переменной \( x \) и получим систему неравенств:

\( 6 \le x^2 + x \le 12 \)

Разделим эту систему на два неравенства:

1. \( x^2 + x \ge 6 \)
• \( x^2 + x - 6 \ge 0 \)
• Найдем корни \( x^2 + x - 6 = 0 \): \( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \)
• \( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \)
• \( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \)
• Решением \( x^2 + x - 6 \ge 0 \) являются \( x \in (-\infty; -3] \cup [2; \infty) \).
2. \( x^2 + x \le 12 \)
• \( x^2 + x - 12 \le 0 \)
• Найдем корни \( x^2 + x - 12 = 0 \): \( D = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \)
• \( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \)
• \( x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \)
• Решением \( x^2 + x - 12 \le 0 \) являются \( x \in [-4; 3] \).

Теперь найдём пересечение решений обоих неравенств:

\( ( (-\infty; -3] \cup [2; \infty) ) \cap [-4; 3] \)

Пересечение:

• \( (-\infty; -3] \cap [-4; 3] = [-4; -3] \)
• \( [2; \infty) \cap [-4; 3] = [2; 3] \)

Объединяя эти промежутки, получаем окончательное решение.

Ответ: [-4; -3] ∪ [2; 3].