8. (x^2 + x - 20)(x^2 - 7x + 12) ≤ 0

Решение:

Для решения данного неравенства методом интервалов, сначала найдём корни каждого квадратного трёхчлена.

1. Первый трёхчлен: \( x^2 + x - 20 = 0 \)
• Дискриминант \( D = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \)
• Корни: \( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2} \)
• \( x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = 4 \)
• \( x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = -5 \)
• Разложение: \( x^2 + x - 20 = (x - 4)(x + 5) \)
2. Второй трёхчлен: \( x^2 - 7x + 12 = 0 \)
• Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1 \)
• Корни: \( x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2} \)
• \( x_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \)
• \( x_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3 \)
• Разложение: \( x^2 - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3) \)

Теперь исходное неравенство примет вид:

\( (x - 4)(x + 5)(x - 4)(x - 3) \le 0 \)

\( (x - 4)^2 (x + 5)(x - 3) \le 0 \)

Отметим корни на числовой прямой: -5, 3, 4. Заметим, что корень \( x = 4 \) имеет чётную кратность (2), поэтому при переходе через него знак не меняется.

Рассмотрим знаки выражений на интервалах:

• При \( x > 4 \), например \( x = 5 \): \( (5-4)^2(5+5)(5-3) = 1^2 · 10 · 2 = 20 > 0 \)
• При \( 3 < x < 4 \), например \( x = 3.5 \): \( (3.5-4)^2(3.5+5)(3.5-3) = (-0.5)^2(8.5)(0.5) = 0.25 · 8.5 · 0.5 > 0 \)
• При \( -5 < x < 3 \), например \( x = 0 \): \( (0-4)^2(0+5)(0-3) = (-4)^2 · 5 · (-3) = 16 · (-15) = -240 < 0 \)
• При \( x < -5 \), например \( x = -6 \): \( (-6-4)^2(-6+5)(-6-3) = (-10)^2(-1)(-9) = 100 · 9 = 900 > 0 \)

Неравенство \( \le 0 \) выполняется на интервале \( (-5; 3) \). Также учитываем точки, где выражение равно нулю. Это \( x = -5 \), \( x = 3 \) и \( x = 4 \).

Объединяя интервал и точки, получаем: \( [-5; 3] \cup \{4\} \).

Ответ: [-5; 3] ∪ {4}.