7. (x^2 + 3x - 4)(x^2 - 6x + 5) ≥ 0

Решение:

Для решения данного неравенства методом интервалов, сначала найдём корни каждого квадратного трёхчлена.

1. Первый трёхчлен: \( x^2 + 3x - 4 = 0 \)
• Дискриминант \( D = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \)
• Корни: \( x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \)
• \( x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \)
• Разложение: \( x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) \)
2. Второй трёхчлен: \( x^2 - 6x + 5 = 0 \)
• Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16 \)
• Корни: \( x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \)
• \( x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \)
• \( x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \)
• Разложение: \( x^2 - 6x + 5 = (x - 5)(x - 1) \)

Теперь исходное неравенство примет вид:

\( (x - 1)(x + 4)(x - 5)(x - 1) \ge 0 \)

\( (x - 1)^2 (x + 4)(x - 5) \ge 0 \)

Отметим корни на числовой прямой: -4, 1, 5. Заметим, что корень \( x = 1 \) имеет чётную кратность (2), поэтому при переходе через него знак не меняется.

Рассмотрим знаки выражений на интервалах:

• При \( x > 5 \), например \( x = 6 \): \( (6-1)^2(6+4)(6-5) = 5^2 · 10 · 1 = 250 > 0 \)
• При \( 1 < x < 5 \), например \( x = 2 \): \( (2-1)^2(2+4)(2-5) = 1^2 · 6 · (-3) = -18 < 0 \)
• При \( -4 < x < 1 \), например \( x = 0 \): \( (0-1)^2(0+4)(0-5) = (-1)^2 · 4 · (-5) = 1 · (-20) = -20 < 0 \)
• При \( x < -4 \), например \( x = -5 \): \( (-5-1)^2(-5+4)(-5-5) = (-6)^2(-1)(-10) = 36 · 10 = 360 > 0 \)

Неравенство \( \ge 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty; -4] \) и \( (1; 5) \). Также учитываем точки, где выражение равно нулю. Это \( x = -4 \), \( x = 1 \) и \( x = 5 \). Так как \( x = 1 \) является корнем чётной кратности, и неравенство \( \ge 0 \), то \( x = 1 \) также включается в решение.

Объединяя интервалы и точки, получаем: \( (-\infty; -4] \cup \{1\} \cup (1; 5] \) => \( (-\infty; -4] \cup [1; 5] \).

Ответ: (-∞; -4] ∪ [1; 5].