6. (x^2 - 4x - 21)(x^2 - 9x + 14) < 0

Решение:

Для решения данного неравенства методом интервалов, сначала найдём корни каждого квадратного трёхчлена.

1. Первый трёхчлен: \( x^2 - 4x - 21 = 0 \)
• Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \)
• Корни: \( x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{4 \pm 10}{2} \)
• \( x_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7 \)
• \( x_2 = \frac{4 - 10}{2} = -3 \)
• Разложение: \( x^2 - 4x - 21 = (x - 7)(x + 3) \)
2. Второй трёхчлен: \( x^2 - 9x + 14 = 0 \)
• Дискриминант \( D = (-9)^2 - 4(1)(14) = 81 - 56 = 25 \)
• Корни: \( x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2} \)
• \( x_1 = \frac{9 + 5}{2} = 7 \)
• \( x_2 = \frac{9 - 5}{2} = 2 \)
• Разложение: \( x^2 - 9x + 14 = (x - 7)(x - 2) \)

Теперь исходное неравенство примет вид:

\( (x - 7)(x + 3)(x - 7)(x - 2) < 0 \)

\( (x - 7)^2 (x + 3)(x - 2) < 0 \)

Отметим корни на числовой прямой: -3, 2, 7. Заметим, что корень \( x = 7 \) имеет чётную кратность (2), поэтому при переходе через него знак не меняется.

Рассмотрим знаки выражений на интервалах:

• При \( x > 7 \), например \( x = 8 \): \( (8-7)^2(8+3)(8-2) = 1^2 · 11 · 6 = 66 > 0 \)
• При \( 2 < x < 7 \), например \( x = 3 \): \( (3-7)^2(3+3)(3-2) = (-4)^2(6)(1) = 16 · 6 = 96 > 0 \)
• При \( -3 < x < 2 \), например \( x = 0 \): \( (0-7)^2(0+3)(0-2) = 49 · 3 · (-2) = -294 < 0 \)
• При \( x < -3 \), например \( x = -4 \): \( (-4-7)^2(-4+3)(-4-2) = (-11)^2(-1)(-6) = 121 · 6 = 726 > 0 \)

Неравенство \( < 0 \) выполняется на интервале \( (-3; 2) \). Точки, где выражение равно нулю (x = -3, x = 2, x = 7), не включаются, так как неравенство строгое.

Ответ: (-3; 2).